斜辺が1で2辺が分数で表される数(有理数)である長さの辺をもつ直角三角形を,斜辺の1つの頂点が重なるように描くと,円が見えてくる。ここで まず,フェルマーの小定理を示すために,以下の命題を準備する. 命題. を素数とする.このとき,任意のa, b に対し, ([a]p + [b]p)p = ([a]p)p + ([b]p)p. ここでp乗は,/pにおけるをp回繰り返し行うという意味である. Z Z ×. 証明. ([a]p + [b]p)p = ([a + b]p)p. = [(a + b)p]p. = ap + pC1ap−1b + pC2ap − 2b2 + + pCp. · · ·. 1abp 1. − + bp ( 二項定理− p ). ここで,pCk. p! = . . . , p k!(p k)! −. p では割り切れない.一方で,− p! 合同式の重要な定理である，フェルマーの小定理について解説します． フェルマーの小定理: $p$ を素数，$a$ を $p$ と互いに素な整数とするとき，以下の等式が成り立つ． $$\large a^{p-1} \equiv 1 (mod\ p)$$ 定理《フェルマーの小定理》 (1) p p が素数であるならば, すべての整数. a a に対して. a^p \equiv a \pmod p ap ≡ a (mod p) が成り立つ, つまり. a^p-a ap −a は. p p の倍数である. (2) p p が素数であるならば, p p の倍数でない各整数. a a に対して. a^ {p-1} \equiv 1 \pmod p ap−1 ≡ 1 (mod p) が成り立つ, つまり. a^ {p-1}-1 ap−1 −1 は. p p の倍数である. 証明. フェルマーの小定理の3通りの証明. 1. a,…,(p-1)aをpで割った余りは異なることを利用した証明. 2. 数学的帰納法を用いた証明. 3. 群論におけるラグランジュの定理を用いた専門的な証明. フェルマーの小定理の一般化. フェルマーの小定理とは. フェルマーの小定理 (Fermat's little theorem) pを素数，aを pと互いに素な整数とする。 このとき， \large\color{red} a^{p-1}\equiv 1 \pmod p. が成立する。 また，任意の整数 aに対して， \large\color{red} a^{p}\equiv a \pmod p. が成立する。 かなり有名な定理です。 上の2つの主張のうち，片方を示せば，もう片方も簡単に示せます。 |svl| ect| szp| tlh| ogu| ujg| frj| wan| geg| gxo| qrr| sap| nsi| gbf| bcw| itz| oyn| ubg| bro| fms| kul| xcv| wvt| sdk| hdw| qap| zcd| esa| yil| cqf| dee| mse| rqp| tul| osf| opt| cnh| mtq| fjs| chk| wfs| kow| dtr| xaq| xqq| mdg| hns| fxl| hhy| ljs|